Задача


Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.
- Кто испачкал скатерть? - спросила бабушка.
- Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. - Это сделал Боря. - А Алеша не пачкал скатерть.
- Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будeте, - рассердилась бабушка. - Ну, а каков твой ответ? - спросила она Витю.
- Не сеpдись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог этого сделать. А я сегодня не готовил уроки, - сказал Витя.
Оказалось, что двое мальчиков в каждом из своих заявлений сказал правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

Приведем два способа решения:
        1. Сначала решим ее так называемым здравым рассуждением, без привлечения каких-либо спецальных математических теорий.
        В задаче сказано, что двое мальчиков сказали правду (в каждом из двух заявлений), а один сказал неправду (оба раза).
        Если сказанное Витей: "Я сегодня не готовил уроки" - неправда, тогда правдиво и первое высказывание Вити:"Боря не мог это сделать". Из этого следует, что Алеша сказал неправду. А он произнес суждение: "Витя не ставил кляксу". Следовательно, кляксу поставил Витя.
        Но такое простое решение получилось по тому, что мы вначале решения попали, как говорят, "в яблочко", т.е. наше первоначальное допущение оказалось верным. В противном случае решение задачи резко усложнилось бы.
        2. Приведем второй способ решения, используя математический аппарат Булевой алгебры:
        Введем обозначения. Пусть суждение:
        А = "АЛЕША ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ", тогда
        = "АЛЕША КЛЯКСУ НЕ СТАВИЛ".
        Аналогичный смысл других суждений:
        W = "ВИТЯ ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ",
        ="ВИТЯ КЛЯКСУ НЕ СТАВИЛ" и
        В = "БОРЯ ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ".
        = "БОРЯ НЕ СТАВИЛ КЛЯКСУ".

        Запишем теперь суждения мальчиков формулами. Алеша сказал, что Витя не ставил кляксу, это сделал Боря. Это суждение запишется формулой:
K = B

        Аналогично, запишем высказывание Бори, а именно:
L = W

        Витя сказал, что Боря не ставил кляксу и что он не готовил уроки. Но последнее совершенно не значит, что Витя не мог поставить кляксу. Поэтому суждение Вити запишется так:
M = (W ) = 1 =

(W) = 1.

        Итак,
M =

        По условию задачи двое мальчиков оба раза сказали правду, а один мальчик оба раза сказал неправду. Поэтому среди записанных нами трех формул К, L, M две истинны, а одна ложна. Мы не знаем, какая формула ложна. Но мы утверждаем, что если из этих формул образовать попарные дизъюнкции, то, поскольку в каждую дизъюнкцию будет входить по крайней мере истинная формула, эти дизъюнкции будут истинными. Преобразуем их, получив новую формулу:
X = K L = ( B) (W )

Y = K M = ( B) = ( B) = ( ) ( B) = ( ) 1 =

( B) = ( B).

( B) = ( ) ( B).

( ) = ( ).

Z = L M = (W )

        Найдем конъюнкцию формул Х и Y. Она, конечно же, истинна:
X Y = (( B) (W )) ( ) = ( B ) (W ) ( B ) (W ) = ( B) (W )

( B ) = ( B).

(W ) = 0.

(B ) = 0.

        Теперь найдем конъюнкцию трех формул X, Y, Z: X Y Z =( B (W )) ((W ) ) = B W B W W W = W W W = W
( B W) = 0.

(B ) = 0.

(W W ) = (W W ).

(W W ) = (W ).

( ) = .

        Итак,
X Y Z = W
        Из этой истинной конъюнкции следует, что Виктор ставил кляксу, а Алексей и Борис нет.

ЗАБЬЕМ ГОЛОВУ ТЕОРИЕЙ СНОВА!!!

Хостинг от uCoz