Задача
Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.
- Кто испачкал скатерть? - спросила бабушка.
- Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. - Это сделал Боря. - А Алеша
не пачкал скатерть.
- Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будeте, - рассердилась бабушка. - Ну, а каков твой
ответ? - спросила она Витю.
- Не сеpдись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог этого сделать. А я сегодня не готовил уроки, - сказал Витя.
Оказалось,
что двое мальчиков в каждом из своих заявлений сказал правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть
кляксу?
Приведем два способа решения:
        1. Сначала решим ее так называемым здравым рассуждением, без привлечения каких-либо спецальных
математических теорий.
        В задаче сказано, что двое мальчиков сказали правду (в каждом из двух
заявлений), а один сказал неправду (оба раза).
        Если сказанное Витей: "Я сегодня не готовил уроки" - неправда, тогда правдиво и первое
высказывание Вити:"Боря не мог это сделать". Из этого следует, что Алеша сказал неправду. А он произнес суждение:
"Витя не ставил кляксу". Следовательно, кляксу поставил Витя.
        Но такое простое решение
получилось по тому, что мы вначале решения попали, как говорят, "в яблочко", т.е. наше первоначальное допущение оказалось
верным. В противном случае решение задачи резко усложнилось бы.
        2. Приведем второй способ
решения, используя математический аппарат Булевой алгебры:
        Введем обозначения. Пусть суждение:
        А = "АЛЕША ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ",
тогда
        = "АЛЕША КЛЯКСУ НЕ СТАВИЛ".
        Аналогичный смысл других суждений:
        W = "ВИТЯ ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ",
        ="ВИТЯ КЛЯКСУ НЕ СТАВИЛ" и
     
  В = "БОРЯ ПОСТАВИЛ КЛЯКСУ".
        = "БОРЯ НЕ СТАВИЛ КЛЯКСУ".
 
      Запишем теперь суждения мальчиков формулами. Алеша сказал, что Витя не ставил кляксу,
это сделал Боря. Это суждение запишется формулой:
K =
B
        Аналогично, запишем
высказывание Бори, а именно:
L = W
        Витя сказал, что Боря не ставил кляксу и что он не готовил уроки. Но последнее совершенно не
значит, что Витя не мог поставить кляксу. Поэтому суждение Вити запишется так:
M = (W
) =
1 =
(W) = 1.
        Итак,
M =
        По условию задачи двое
мальчиков оба раза сказали правду, а один мальчик оба раза сказал неправду.
Поэтому среди записанных нами трех формул К, L, M две истинны, а одна ложна. Мы не знаем, какая формула ложна.
Но мы утверждаем, что если из этих формул образовать попарные дизъюнкции, то, поскольку в каждую дизъюнкцию будет входить по
крайней мере истинная формула, эти дизъюнкции будут истинными. Преобразуем их, получив новую формулу:
X = K L = (
B)
(W )
Y = K M = (
B) =
( B) =
( )
( B) =
( )
1 =
(
B) = (
B).
( B) = (
)
( B).
( ) =
( ).
Z = L M = (W
)
        Найдем конъюнкцию формул Х и Y.
Она, конечно же, истинна:
X Y = ((
B) (W
)) (
) =
( B
) (W
)
( B
)
(W
) = (
B) (W
)
( B
) =
( B).
(W
) = 0.
(B ) = 0.
        Теперь найдем конъюнкцию трех формул X, Y, Z:
X Y Z =(
B
(W
)) ((W
) ) =
B W
B
W
W
W
= W W
W
= W
( B
W) = 0.
(B ) =
0.
(W
W
) =
(W W
).
(W W
) =
(W ).
(
) = .
        Итак,
X Y
Z = W
        Из этой истинной конъюнкции следует, что Виктор ставил кляксу, а Алексей и Борис нет.
ЗАБЬЕМ ГОЛОВУ ТЕОРИЕЙ СНОВА!!!